|
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛОГИИ
Звук передается колебаниями частиц воздуха. Чтобы частицы воздуха могли совершить звуковые колебания, необходимо, чтобы
они каким-то образом были приведены в колебательное состояние или, как принято говорить в акустике, были «возбуждены». Таким
возбудителем или, иначе говоря, источником звука может быть, например, диффузор громкоговорителя, струна скрипки и т. н.
Здесь колебания твердых тел (диффузор, струна) вызывают колебания частиц воздуха.
Твердое тело или совокупность нескольких твердых тел, участвующих в колебаниях, называется механической колебательной
системой. Движение этих тел характеризуется либо перемещением к какой-нибудь точки тела, либо скоростью
этой точки х, либо с ускорением х′.
Рассмотрим простую механическую колебательную систему (рис. 1), состоящую из массы т, укрепленной на пружине
имеющей упругость s. Масса находится в вязкой среде, создающей сопротивление трения r. Если конец пружины
оттянут из положения равновесия на расстояние х, то пружина стремится сократиться с некоторой силой. Очевидно,
что эта сила тем больше, чем на большее расстояние оттянута пружина и чем больше ее упругость. Отсюда возвращающая сила пружины
Fs, стремящаяся вернуть оттянутый ее конец в положение равновесия, равна произведению xs, где
х — расстояние, на которое оттянут конец пружины, a s — коэффициент упругости пружины.
Рис. 1. Простая
механическая колебательная система
В свою очередь s определяется как s=F s / x.
Отсюда единицей упругости называется упругость такой пружины, которая при растяжении на единицу длины (1 м) стремится
сократиться с силой, равной также единице (1 Н).
Свойства пружины можно характеризовать и величиной, обратной коэффициенту упругости. Эта величина называется коэффициентом
гибкости и обозначается буквой с: c=1/s и соответственно c=x/Fs.
При перемещении тела возникают силы трения, тормозящие движение тела. При движении тела в вязкой среде значение силы
трения Fr пропорционально скорости тела х и коэффициенту r, характеризующему среду,
в которой возникает трение, и называемому обычно сопротивлением трения. Следует заметить, что сопротивление трения может
возникать не только при движении тела в вязкой среде, но и в результате внутреннего трения, например, трения частиц в толще
материала пружины при ее растяжении или сжатии.
Сопротивление трения — одна из составляющих активного механического сопротивления. Характерной особенностью реальной
механической системы (обладающей активным механическим сопротивлением) является то, что в ней всегда имеет место необратимый переход механической
энергии в тепловую.
Сила трения может быть выражена как Fr=rx или r=Fr/x.
Единицей активного сопротивления (трения) называется такое сопротивление, которое при перемещении тела со скоростью,
равной единице (1 м/с), вызывает тормозящую силу, равную также единице (1 Н). Единица активного сопротивления измеряется
в кГ/с (если учесть размерность силы кГ·м/с2).
Все тела стремятся сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Изменению этого состояния они
сопротивляются с силой инерции, равной произведению массы на ускорение.
Пусть к телу с массой т (см. рис. 1) приложена сила F, направленная вниз. Под влиянием этой силы тело опустится
на расстояние х от положения равновесия. При этом, кроме внешней силы F, на тело массой т действуют
следующие силы: во-первых, сила инерции тх, во-вторых, тормозящая сила трения, равная rх,
в-третьих, сила упругости пружины sx, которая стремится вернуть тело в положение равновесия. Процесс в
такой механической системе подобен процессу в цепи переменного тока, состоящей из последовательного соединения индуктивности
L, активного сопротивления R и емкости С.
Это подобие отражает тот факт, что в обеих системах имеет место превращение энергии из одного вида в другой. Действительно,
в механической системе кинетическая энергия движущегося тела превращается в потенциальную энергию растянутой пружины, и
обратно. Часть энергии из-за наличия трения переходит в тепло. В электрической цепи энергия магнитного поля, появляющегося
при прохождении электрического тока, превращается в энергию электрического поля (заряд конденсатора), и обратно. Часть энергии
выделяется на активном сопротивлении в виде тепла. Поэтому масса, сопротивление трения и гибкость аналогичны соответственно
индуктивности, активному сопротивлению и электрической емкости. Это подобие не является чисто внешним, формальным, а отображает
физическое подобие рассматриваемых величин или, как их называют, параметров. Действительно, индуктивность в цепи препятствует
как мгновенному возрастанию тока от нуля до какого-то конечного его значения при включении источника напряжения, так и спаданию
тока до нуля сразу же при выключении напряжения. То же относится к массе в механической системе. Инертность тела препятствует
мгновенному нарастанию скорости при приложении силы и не дает телу остановиться сразу.
Как уже отмечалось, часть энергии электрического тока благодаря наличию активного сопротивления превращается в тепло.
Также превращается в тепло при наличии трения часть механической энергии. Чем больше гибкость пружины, тем большее смещение
она получает при заданном значении силы. Чем больше электрическая емкость, тем больший заряд создается на конденсаторе при
заданном приложенном напряжении. Заряд можно рассматривать как аналог смещения, а ток, следовательно, как аналог скорости.
Аналогичны также электродвижущая сила и механическая сила, первая является причиной прохождения тока, вторая — движения тела.
Отсюда по аналогии колебательная скорость тела в простой колебательной системе, на которую действует сила F, меняющаяся
по синусоидальному закону с круговой частотой ω, выражается следующим образом:
 | (1) |
а ее модуль
Это аналогично
Как
является полным электрическим сопротивлением, измеряемым в Омах, так
является полным механическим сопротивлением, измеряемым в механических Омах (мехомах).
Подобно реактивному сопротивлению электрической цени [ωL - 1/(ωС)], являющегося разностью индуктивного
(ωL и емкостного 1/(ωС) сопротивлении, в механической системе сопротивление [ωm
- 1/(ωC)] называется реактивным механическим сопротивлением и является разностью инерционного
сопротивления ωm (обусловленного инертностью тела) и упругого сопротивления 1/(ωC) или s/ω.
Механическое реактивное сопротивление также измеряется в мегомах.
В электротехнике и акустике синусоидально изменяющиеся величины (сила, смещение, скорость, ускорение и т. д.) принято
измерять в действующих значениях, которые в √2 раз меньше амплитудных. Укажем, что абсолютные значения амплитудных
(и соответственно действующих) значений смещения х, скорости х’ и ускорения х’’
связаны между собой соотношениями:
 | (2) |
В дальнейшем, если не будет оговариваться иное, мы будем пользоваться имение действующими значениями этих и других величин.
Смещение при колебательном движении измеряется в обычных единицах длины (м), колебательная скорость — в обычных единицах
скорости (м/с), а ускорение при этом движении — в обычных единицах ускорения (м/с2).
Из приведенных соотношений можно сделать вывод, что для достижения одной и той же амплитуды колебательной скорости х
требуется малое смещение на высокой частоте колебаний и большое смещение на низкой частоте.
Рассматривая выражение для скорости при различных значениях частоты, видим, что если реактивное механическое сопротивление
равно нулю, то скорость будет максимальной. Это произойдет на частоте, называемой частотой резонанса, которая для механической
системы
Следовательно, резонансная частота механической системы будет тем выше, чем больше ее упругость и меньше масса, т. е.
чем более жесткой и легкой окажется система. Наоборот, чем тяжелее и гибче система, тем ниже ее собственная частота. Это
подтверждается повседневным опытом. Жесткая легкая стальная полоска, зажатая в тисках, имеет высокую резонансную частоту.
Большая масса на гибких амортизаторах, например автомашина на рессорах, имеет низкую резонансную частоту.
Нетрудно видеть, что вблизи резонанса скорость системы, по существу, определяется активным сопротивлением (сопротивлением
трения), так как в этой области реактивное сопротивление весьма мало и им можно пренебречь по Сравнению с активным. Если
активное сопротивление в системе невелико, то в области частот ниже резонансной колебательная скорость определяется в основном
упругостью или, точнее, упругим сопротивлением s/ω, а в области частот выше резонансной — массой или,
точнее, инерционным сопротивлением ωm. В первом случае полное механическое сопротивление определяется
упругим, а во втором — инерционным сопротивлением. В соответствии с этим говорят, что система управляется упругостью, массой
или активным сопротивлением.
Аналогия между механической колебательной системой и электрической цепью позволяет изображать механические системы с
помощью аналогичных им электрических схем, рассчитывать и исследовать схемы и полученные результаты вновь переводить на язык
механических величин. Этот прием называется методом электромеханических аналогий и широко используется в электроакустике.
Разобранная аналогия между простой механической колебательной системой и последовательным соединением индуктивности,
емкости и активного сопротивления является простейшей. На практике приходится встречаться с гораздо более сложными системами
и аналогиями. В особенности затрудняется подыскание аналогов, когда механическая система состоит не из сосредоточенных масс,
упругостей, сопротивлений, а из распределенных, что имеет место, например, в колеблющихся струнах, мембранах, пластинках,
балках и т. п., где каждый малый элемент колеблющегося тела обладает и массой, и упругостью, и трением.
Чтобы показать, как составляются схемы аналогии, рассмотрим следующий пример. Дана механическая система (рис. 2), состоящая
из масс т1 и т2, которые соединены пружиной, обладающей гибкостью с. На массу
т1 действует сила F.
Рис. 2. Механическая колебательная система
Поскольку электрической аналогией силы является э. д. с, то в схеме аналогии сила отображается э. д. с, действующей непосредственно
на массу т1. После массы т1 следуют элементы с и т2,
которые можно соединять либо последовательно, либо параллельно. Если они соединены последовательно, то при очень малом значении
гибкости с упругое сопротивление велико, и, следовательно, тока в цепи не будет. В переводе на язык механики это
означает, что, несмотря на приложенную силу, система не колеблется. Вместе с тем малое значение гибкости с означает,
что массы т1 и т2 жестко соединены, как бы слиты в одну массу, что не допускает
отсутствия колебаний в системе.
Соединим теперь с и т2 параллельно (рис. 3). При таком соединении малое значение гибкости с
никак не препятствует колебаниям в системе. Если, наоборот, положить, что с весьма велико (очень слабая пружина,
волосок), то малое упругое сопротивление зашунтирует в схеме аналогии т2 и эта масса при этом колебаться
не будет. К этому же заключению можно прийти и не прибегая к схеме аналогии. Действительно, если сила действует на массу
т1, то ее колебания практически не будут передаваться массе т2, если
она соединена с массой т1 посредством
очень гибкой (малоупругой) пружины. Таким образом, придавая параметрам механической системы либо очень большие, либо очень
малые значения, можно убедиться в том, что схема аналогии (рис. 3) составлена правильно.
Рис. 3. Схема аналогии
механической колебательной системы по рис. 2.
В.К. Иофе, М.В. Лизунков
Часть [1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[5]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
|
